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Definition distribution

En analyse mathématique, une distribution (également appelée fonction généralisée) est un objet qui généralise la notion de fonction et de mesure. La théorie des distributions étend la notion de dérivée à toutes les fonctions localement intégrables et au-delà, et est utilisée pour formuler des solutions à certaines équations aux dérivées partielles. Elles sont importantes en physique et en ingénierie où beaucoup de problèmes discontinus conduisent naturellement à des équations différentielles dont les solutions sont des distributions plutôt que des fonctions ordinaires.
La théorie des distributions fut formalisée par le mathématicien français Laurent Schwartz et lui valut la médaille Fields en 1950. Son introduction utilise des notions d'algèbre linéaire et de topologie centrées autour de l'idée de dualité. Il faut chercher l'origine de cette théorie dans le calcul symbolique de Heaviside (1894) et Poincaré (1912), et dans l'introduction par les physiciens de la « fonction de Dirac » (1926). L'objectif a été alors de généraliser la notion de fonction, afin de donner un sens mathématique correct à ces objets manipulés par les physiciens, en gardant en plus la possibilité de faire des opérations telles que des dérivations, convolutions, transformées de Fourier ou de Laplace. Jacques Hadamard, Salomon Bochner et Sergueï Sobolev ont été les artisans successifs de cette œuvre dont le dernier volet est dû à Laurent Schwartz. Cette généralisation de la notion de fonction a été poursuivie en des directions diverses, et a notamment donné lieu à la notion d'hyperfonction due à Mikio Satō. Une autre voie a conduit aux distributions de Colombeau (en), saluées par Laurent Schwartz lui-même comme étant la découverte du bon point de vue fonctoriel sur les distributions[réf. souhaitée]. En particulier, contrairement à ce qui se passe pour les distributions de Schwartz, la multiplication est enfin pleinement définie sur les distributions de Colombeau.
La distribution de Dirac est un exemple intéressant de distribution car elle n'est pas une fonction, mais peut être représentée de façon informelle par une fonction dégénérée qui serait nulle sur tout son domaine de définition sauf en 0 et dont l'intégrale vaudrait 1. En réalité, de manière tout à fait stricte, elle est la limite au sens des distributions d'une suite de fonctions d'intégrale 1 et convergeant uniformément vers 0 sur tout compact ne contenant pas 0. Un tel objet mathématique est utile en physique ou en traitement du signal, mais aucune fonction ordinaire n'a ces propriétés.

Distribution (mathématiques)

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